Forum des auditeurs passionnés et critiques de France Culture

Bonjour à vous deux, vous avez fourni-là un bien beau matériau à travailler.

@Basil :

Basil a écrit:
La dualité être/changement tombe oui, mais j'aurai tendance à penser que le problème existentiel de l’être changeant est alors déplacé dans la variable temps et que toutes les questions se reportent sur elle.

Quand "les choses" changent, ce n'est pas le temps qui est une variable, c'est leur coordonnée temporelle - comme c'est leur coordonnées spatiale qui changent quand ils se déplacent, ce qui est peu ou prou la même chose.

Dans l'ontologie allégée que je proposais, des choses étendues dans le temps ne sont que nos "théories" pour se raconter le monde. En réalité, dans cette vision proche du nominalisme, les seuls êtres sont des particuliers abstraits (ce sourire, par exemple, ou ce vert et pas le vert) , et instantanés. Ce qu'une certaine philosophie analytique appelle les "tropes".

Basil a écrit:Le temps, variable restant inexistante pour expliquer de l’existant.

Là, je ne suis pas d'accord : N'oubliez pas que depuis 1915 et une certaine théorie de la gravitation signée Einstein, on peut courber le temps (et l'espace) : il suffit de disposer d'un peu de matière massive pour ça. Le potentiel de gravitation qu'elle crée déforme non pas les évènements qui se trouvent dans le temps, mais le temps lui-même.

Alors la possibilité d'agir sur quelque chose n'est pas une vraie preuve de son existence, je vous l'accord, mais c'en est un bon indice. Une contre-preuve de Descartes, il me semble : si je plonge un bâton dans l'eau, il va m'apparaître brisé à l'endroit de la surface de l'eau, et sa partie immergée m'apparaîtra avoir une orientation différente de sa partie émergée. En montant et en descendant le bâton dans l'eau, je peux "manipuler" l'endroit où se trouve cette brisure sur le bâton. Pourtant, elle n'est pas réelle et n'est qu'une illusion, bien que je puisse agir dessus.

@Nessie (je croyais bien me rappeler que tu avais aussi le temps comme sujet d'occupation) :

Nessie a écrit:comment pourrait-il donc être métaphysique, le temps puisqu'il a des effets concrets ?
(de cela si vous voyiez ma belle-mère vous ne douteriez guère).

D'accord sur l'existence physique du temps (cf. message précédent) mais pour la raison inverse : c'est qu'on peut avoir un effet sur lui (courbure) qui marque sa réalité.

Par contre, lui n'a pas exactement l'effet que tu dit, là c'est Klein qui fournit le bistouri pour analyser la chose : il faut éviter de confondre le temps avec ce qui se passe dans le temps. Le vieillissement apparent de ta grand-mère ou du camembert même réfrigéré, ce n'est pas l'effet du temps, mais celui des lois de l'univers - si elles existent mais c'est une autre question -. Le seul effet du temps lui-même, ce sont ceux de sa géométrie locale (courbé ou pas) et éventuellement ceux de sa topologie (on peut imaginer des temps discrets, complexes, à deux dimensions, etc).

Là oui, si ta grand-mère s'approche près d'une étoile ou d'un trou noir, le temps va avoir un effet, mais sur nous qui l'observons de loin : son vieillissement va nous paraître ralenti (elle-même se verra vieillir à vitesse normale). Voilà un des rares effets direct du temps. Et oui, pas métaphysique, le temps, d'accord avec ça.

A part ça : ta première question n'est pas simple, l'image des cartes donne a réfléchir. Il y a deux cas bien distincts que je vois en leur trouvant des exemples :

·      Les définitions avec dépendances croisées légitimes : c'est le cas qu'on rencontre quand on veut définir les termes "mari" et "femme" (désolé d'être rétrograde le temps d'un exemple). Chacun des termes aura besoin de l'autre dans sa définition pour tenir. C'est le cas qui me semble le plus proche de ton image des cartes. Et je pense que si la codépendance est légitime, c'est parce que ces deux termes, mari et femme, ne sont pas fondamentaux, ce sont avant tout les relatas d'une relation, le couple. Et c'est la relation, termes à deux inconnues dont on connait le genre (ou pas suivant les législations en vigueur), qui est fondamentale.

Fondamentale pour nous, pas "en vrai" dans le monde si nous n'existions pas. Mais notre connaissance est ce qu'elle est, et c'est dans ses limites et ses moyens que toute réflexion aboutit puisque c'est notre seule porte sur le monde (s'il existe, même réserve que pour ses lois). Et du type d'objet "relation", on en a autant besoin pour décrire le monde que des choses, alors qu'on a tendance à imaginer que dans le fond, naïvement, la restriction aux choses devrait suffire pour coller à peu près à ce qu'est le monde.

./... (pas sûr d'avoir le temps de finir, je te pique cette commodité de présentation)

·      Un cas où la double dépendance me paraît impropre : est lourd ce qui n'est pas léger, est léger ce qui n'est pas lourd.
C'est tiré par les cheuveux, mais de telles circularités existent dans les dictionnaires. La distinction qu'il y a avec le cas mari/femme, c'est qu'on n'apprend rien sur le monde avec ces définitions. Tout ce qu'on y apprend est syntaxique : on saura qu'une phrase disant d'un object qu'il est lourd et léger sera contradictoire, mal construite. logiquement fausse. Mais ils n'apportent aucune sémentique. En réalité, le dictionnaire doit proposer des exemples qui ont trait aux sensations ou présente à l'aide de contexte des cas d'usage, sinon ces définitions seront insuffisantes à ce qu'on fasse un usage de ces mots.

C'est que si A est fonction de B et seulement de B, et B fonction de A et seulement de A, A sera fonction de A. Est lourd ce qui n'est pas [pas lourd]. Certes...
Dans le cas de mari et femme, on pourrait hasarder que le mari est le conjoint de la femme au sein d'un couple et que la femme est la conjointe du mari au sein d'un couple, ce qui fait émerger cette troisième entité plus fondamentale.

J'ai l'impression que dans le cas du temps et du changement... on est un peu entre ces deux sortes de circularité. En fait, voilà : je pense qu'on tombe du bon côté si l'on dit (c'est tordu) que le temps est le [un des]degré[s] de liberté qui permet le changement des objets du monde par les lois de la nature, et que le changement, c'est le produit dans le temps (et l'espace), sur les choses de l'univers, des lois de la nature. Le troisième terme qui émerge, entre temps et changement, c'est bien les lois de la nature, moteurs du changement, c'est à dire de la forme de l'univers dans le temps.

./... (encore un peu à venir)

Nessie a écrit:<< Le temps est une condition nécessaire pour que deux énoncés incompatibles puissent être également vrais >>

En grande partie d'accord pour cette définition qui me semble bien marcher, quoiqu'un peu lâche (peu tendue) parce que ça paraît être une définition par l'un de ses aspects seulement. Aspect qui lui est unique, certes, mais est-ce qu'on touche là le cœur du temps ?

A noter : L'espace a dans ce cas une fonction symétriquement renversée : il permet à un seul énoncé d'être simultanément vrai et faux.
Par exemple : << je suis ici >>.

Mais ce genre de définitions, fondées les énoncés sur le monde, je les crois possibles parce que tout notre discours est construit comme une fonction du temps. Le temps est, dans toutes nos représentations, un paramètre extérieur, intrinsèque, et le point de vue naturel est semblable à celui d'un voyageur dans un train qui avance continument, avec monde-paysage défilant vers l'arrière. La marque ce cela, c'est l'importance des "temps" grammaticaux. "Paul chantait", "Marie entra", toutes phrases dans lesquelles ce qui se passe dans l'espace est fonction du temps, jamais l'inverse.

Pourtant, à l'examen, le temps et l'espace jouent un rôle très similaire : ce sont des degrés de liberté du monde. Des dimensions dans lesquelles il s'étale. En tout cas, si on est un brin éternaliste, on passera vite outre cette petite asymétrie entre temps et espace qui est celle de notre perception, pour se concentrer sur tout ce qui les unit.

D'une : toujours grâce à Einstein, dix ans avant qu'il ne fasse joujou avec la gravitation, on sait qu'en accélérant, on effectue une rotation dans l'espace-temps. En mouvement (rapide) par rapport à un autre observateur, celui-ci nous apparaît quelque peu tourné dans l'espace-temps : un peu de ce qui est pour lui de l'espace nous apparaît être du temps, et un peu de son espace, du temps. Les mesures de distances sur, par exemple, les objets qu'il tient le long de son mouvement nous les mesurons plus courts que lui, et ses pendules, nous les voyons battre moins vite que lui ne les voit. Il se passe la même chose que, dans l'espace, quand vous tenez un bâton horizontalement face à moi, puis le tournez pour que je le voie de profil, vous aurez échangé à mes yeux une partie de sa longueur et de sa profondeur, et sa projection sur mon plan m'apparaîtra plus courte.

Cette interchangeabilité des dimensions de l'espace et du temps plaide fortement pour une communauté de nature entre les deux, non ?

Par ailleurs, on distingue souvent le "comment" du "pourquoi". Pourtant, ces deux questions sont loin d'être si différentes : le "comment", c'est la description du monde, le compte-rendu de sa composition dans l'espace, le dessin de sa forme.

Le "pourquoi", c'est son explication : le compte-rendu des causes successives qui font le monde actuel. Et finalement, rien de plus que sa "forme" temporelle. Si l'on se figure l'univers comme un bloc à quatre dimensions, statique, dans lequel nos histoires sont des trajectoires, des lignes à quatre dimensions, le "pourquoi" n'est qu'on "comment" temporel.

Dans les deux cas, l'affaire est la description des formes du mondes, qu'elles soient spatiales ou temporelles. Et c'est à ce niveau une réponse que je propose au questionnement d'Etienne Klein sur ce que sont les lois du monde : Les lois du monde ne sont que l'expression mathématisée des régularités de sa forme.

Etienne Klein se demande comment le monde porte ses lois, où se trouvent-elles. Eh bien, comment dira-t-on d'un escargot ou d'un chou-fleur qu'il porte les lois de ses régularités ? Il les porte dans sa forme, sa forme est ce qui porte les régularités de la coquille de l'escargot (qui ne se réduit pas à sa forme : elle a une masse, une charge - globalement nulle - ...). Ceci dit, est-ce que les lois de la coquille de l'escargot, la formule mathématique d'une spiraloïde dans laquelle figure un nombre d'or quelque part, serait autre chose que sa forme, mise en mots la mathématique humaine ? Nul besoin en tout cas que l'escargot "porte" la formule, qui n'est que le compte-rendu de cette forme, et des compte-rendus équivalents, tout un chacun peut en faire.

On pourra arguer qu'il y a des lois plus profondes qui gouvernent la forme de l'escargot et du chou-fleur, et on ne peut y accéder qu'avec des moyens d'investigation poussés : ce sont celles de la génétique, celle des mécanismes biologiques qui font que cette forme est encodée dans les gènes du chou-fleur ou de l'escargot. Mais cet argument mélange plusieurs niveaux du discours et il serait long de démêler son invalidité.

Bonsoir masterkey

masterkey a écrit:

Basil a écrit:Le temps, variable restant inexistante pour expliquer de l’existant.

Là, je ne suis pas d'accord : N'oubliez pas que depuis 1915 et une certaine théorie de la gravitation signée Einstein, on peut courber le temps (et l'espace) : il suffit de disposer d'un peu de matière massive pour ça. Le potentiel de gravitation qu'elle crée déforme non pas les évènements qui se trouvent dans le temps, mais le temps lui-même.

masterkey a écrit:Mais notre connaissance est ce qu'elle est, et c'est dans ses limites et ses moyens que toute réflexion aboutit puisque c'est notre seule porte sur le monde (s'il existe, même réserve que pour ses lois).

Comment donner des réserves sur l’existence du monde (mathématique ? où sensible ?) et sur ses lois, tout en affirmant que le temps (en tant que variable mathématique) existe ? Qu’il ne s’agit pas là d’une façon de se raconter l’histoire ?

masterkey a écrit:Et c'est à ce niveau une réponse que je propose au questionnement d'Etienne Klein sur ce que sont les lois du monde : Les lois du monde ne sont que l'expression mathématisée des régularités de sa forme.

masterkey a écrit:Nul besoin en tout cas que l'escargot "porte" la formule, qui n'est que le compte-rendu de cette forme.

D’un point de vue scientifique (et très subjectif), je me vois absolument d’accord avec votre proposition. Je ne ferai qu’un pas de plus pour supposer que les formes régulières émergent « nécessairement » d’un chaos (au sens des systèmes dynamiques) sous-jacent. La nature empirique des lois que l’homme observe ne peut que difficilement rendre compte et prévoir les irrégularités d’une forme.

Bonsoir Basil,

Sur cette contradiction que vous débusquez : je ne crois pas que faire siennes des réserves kantiennes sur le monde (sur le monde derrière ses apparences) n'empêche de se donner des entités pour décrire et surtout organiser le monde des phénomènes, et de juger certaines collections d'entités plus légitimes que d'autres pour le décrire. C'est à elle qu'on pourra accoler le qualificatif d'"existant", à mon sens.

Il s'agit de prendre les choses au niveau phénoménologique, bien sûr, puis de pratiquer le "comme si" de Kant. Ces entités, tropes, relations, dimensions (encore une fois, je ne vois pas le temps comme une "variable", mais une dimension, un degré de liberté dans lequel peuvent s'étaler les objets du monde), on se les donne non pas arbitrairement, mais selon certains critères d'efficacité, de richesse, de cohérence, de compacité, de stabilité, etc. Et cela suppose des discussions méta-physiques de se donner tels ou tels objets.

C'est finalement la même chose dans les axiomatiques des différentes branches des mathématiques : les axiomes de l'arithmétique de Peano ou de la théorie des ensembles ne sont pas choisis au hasard, ils obéissent à des critères semblables à ceux cités précédemment, certains apparaissent plus naturels. Ce qui ne veut pas dire qu'il n'y a pas des discussions millénaires sur la pertinences de certains, de même que pour les objets qu'on se donne pour décrire le monde phénoménal !

Basil a écrit:Je ne ferai qu’un pas de plus pour supposer que les formes régulières émergent « nécessairement » d’un chaos (au sens des systèmes dynamiques) sous-jacent. La nature empirique des lois que l’homme observe ne peut que difficilement rendre compte et prévoir les irrégularités d’une forme.

Là-dessus, je suis curieux d'en savoir plus, et que vous développiez, car en quelques mots, votre pas supplémentaire laisse beaucoup de place à l'imagination. Je n'hésite pas à m'étaler au fil des mots ici, sans beaucoup de considération pour la lisibilité du tout : faites de même !

Merci Masterkey pour votre éclaircissement. Je n’avais pas compris votre premier message.
Merci également de m’inviter à développer ce « pas » supplémentaire qui vous laisse perdu dans mon imaginaire. Je ne suis pas sur de pouvoir m’étaler plus longuement sur le sujet, n’ayant peut être pas suffisamment de matériel métaphysique voir même physique. Je peux cependant donner un exemple « métaphorique » à généraliser à tout ce que la science appelle « lois de la physique ».
Supposons qu’un observateur constate la forme et le mouvement de la terre autour du soleil. Il est en droit de théoriser cette trajectoire et de la prendre pour une loi immuable de la physique et de prétendre qu’elle existe « pour de vrai ». Cependant, cette forme et ce mouvement résultent d’un état « stabilisé » (ou presque) d’un système chaotique et peut être que jamais deux fois de suite la révolution terrestre n’est identique.

J’espère avoir éclairci de la sorte mon imaginaire. Dans le même temps, je prends connaissance d’un autre fil du forum dans lequel vous donnez en référence un document sur http://www.cphi2.org . Et à lire le synopsis de ce qui anime ce Collège de Physique et de Philosophie, je me rend compte à quel point je suis empêtré (à mon modeste niveau) dans beaucoup de ces questionnements. Auquel se rajoute par dessus tout ca, la question anthropologique de savoir ce que parler veut dire. Merci donc pour avoir découvert ce site internet.

Basil, effectivement, au sujet de la trajectoire des planètes, c'est bien de chaos qu'il s'agit, et la solution pour le surmonter mathématiquement, c'est le calcul perturbatif, celui qui a permis la découverte spectaculaire de la dernière planète du système solaire par Le Verrier.

Le genre de prédiction qui a donné beaucoup de poids à la capacité prédictive de la physique mathématique, pas tout à fait de la taille de l'"effet Lazare", pour reprendre un titre de SF, mais qui a laissé des traces. Certaines sûrement trop profondes.

Je suis aussi curieux de vos impressions sur les discussions du Cφ². Les remarques de Michel Bitbol ne devraient pas vous laisser indifférent...

Reprise à la volée d'un message de Tiersi sur le fil

Tiersi a écrit:
Maintenant, je me permets de soumettre des idées, il me semble, personnelles. Par exemple, l’infini. Un concept incompréhensible dans le cadre de notre expérience journalière. Selon moi, l’infini ne devient intellectuellement envisageable que s’il s’inscrit dans un «mouvement tournant». Si vous vous trouvez à l’intérieur d’un cercle, votre parcourt est infini. Il n’y a ni début ni fin. Seul un début arbitraire est alors concevable. En voici un: le Big Bang.
Ajoutons qu’un cercle particulier donne à réfléchir: la «bande de Möbius». Une seule surface, et pourtant, à chaque instant, vous avez un recto et un verso. Si tel était le cas, par similitude, on pourrait dire qu’à chaque instant l’univers présente l’infiniment grand et l’infiniment petit, pourtant il ne s’agirait que d’une «même surface»…

Il me semble qu'il y a d'autres d'infinis que ceux du type cyclique, en mathématiques au moins : le cardinal (le nombre d'éléments) de l'ensemble des entiers en est un, un infini "discret" dont les éléments sont comptables, énumérables, mais sans qu'il existe de plus grand élément. Celui des nombres réels (qui contient entre autres les nombres à virgules, les résultats de racines carrés, ou les nombres transcendants comme e ou pi), en est un autre, continu, et surtout plus grand que le premier (et il y a des infinis encore plus grands...).

Pas forcément besoin d'un cercle pour se figurer d'infini. De toute façon, dans une vie finie, qu'on se promène sur un cercle, sur une suite de points ou sur une droite, il n'est question que de se le figurer, que de l'imaginer par extrapolation, par des raccourcis tels que "etc.". C'est toute la différence entre infini potentiel et infini actuel.

Cette impossibilité pratique d'envisager l'infini a braqué une branche de mathématiciens, qu'on appelle les finitistes (Hilbert par exemple) qui considéraient que la pensée ne pouvait saisir que du fini, et que donc, tout résultat mathématique devait se passer d'infinis pour être acceptable, et que les infinis étaient source de paradoxes divers.

D'autres au contraire, à la suite de Cantor, n'ont pas hésité à construire sur l'infini, et notamment développer une véritable arithmétique des nombres au-delà de l'infini classique, les nombres transfinis.

Quant à l'actualité physique de tout cela, difficile également de se prononcer : des théories d'univers infinis (et infinis dès le big bang) existent au même titre que des genres d'univers fini, et il faut dire que, du côté expérimental autant que de celui de nos outils conceptuels, je ne nous vois pas armés pour trancher (quoique, les théories d'univers chiffonnés de JP Luminet avaient l'avantage je crois de prédire des corrélations dans les images de l'univers produites par les satellites tels que COBE, WMAP ou Planck, et qui n'ont pas été vues, il me semble).

De toute façon, en cas d'univers infini, notre propre finitude nous rendra ce caractère infini difficilement compréhensible. C'est aussi pourquoi je ne vois pas tellement d'argument solide pour réfuter a priori la possibilité d'un univers infini, ou de la pertinence du concept d'infini.

Est-ce que vous en voyez, vous ?

masterkey a écrit:Reprise à la volée d'un message de Tiersi sur le fil

Tiersi a écrit:
Maintenant, je me permets de soumettre des idées, il me semble, personnelles. Par exemple, l’infini. Un concept incompréhensible dans le cadre de notre expérience journalière. Selon moi, l’infini ne devient intellectuellement envisageable que s’il s’inscrit dans un «mouvement tournant». Si vous vous trouvez à l’intérieur d’un cercle, votre parcourt est infini. Il n’y a ni début ni fin. Seul un début arbitraire est alors concevable. En voici un: le Big Bang.
Ajoutons qu’un cercle particulier donne à réfléchir: la «bande de Möbius». Une seule surface, et pourtant, à chaque instant, vous avez un recto et un verso. Si tel était le cas, par similitude, on pourrait dire qu’à chaque instant l’univers présente l’infiniment grand et l’infiniment petit, pourtant il ne s’agirait que d’une «même surface»…

Il me semble qu'il y a d'autres d'infinis que ceux du type cyclique, en mathématiques au moins : le cardinal (le nombre d'éléments) de l'ensemble des entiers en est un, un infini "discret" dans les éléments sont comptables, énumérables, mais sans qu'il existe de plus grand élément. Celui des nombres réels (qui contient entre autres les nombres à virgules, les résultats de racines carrés, ou les nombres transcendants comme e ou pi), en est un autre, continu, et surtout plus grand que le premier (et il y a des infinis encore plus grands...).

Pas forcément besoin d'un cercle pour se figurer d'infini. De toute façon, dans une vie finie, qu'on se promène sur un cercle, sur une suite de points ou sur une droite, il n'est question que de se le figurer, que de l'imaginer par extrapolation, par des raccourcis tels que "etc.". C'est toute la différence entre infini potentiel et infini actuel.

Cette impossibilité pratique d'envisager l'infini a braqué une branche de mathématiciens, qu'on appelle les finitistes (Hilbert par exemple) qui considéraient que la pensée ne pouvait saisir que du fini, et que donc, tout résultat mathématique devait se passer d'infinis pour être acceptable, et que les infinis étaient source de paradoxes divers.

D'autres au contraire, à la suite de Cantor, n'ont pas hésité à construire sur l'infini, et notamment développer une véritable arithmétique des nombres au-delà de l'infini classique, les nombres transfinis.

Quant à l'actualité physique de tout cela, difficile également de se prononcer : des théories d'univers infinis (et infinis dès le big bang) existent au même titre que des genres d'univers fini, et il faut dire que, du côté expérimental autant que de celui de nos outils conceptuels, je ne nous vois pas armés pour trancher (quoique, les théories d'univers chiffonnés de JP Luminet avaient l'avantage je crois de prédire des corrélations dans les images de l'univers produites par les satellites tels que COBE, WMAP ou Planck, et qui n'ont pas été vues, il me semble).

De toute façon, en cas d'univers infini, notre propre finitude nous rendra ce caractère infini difficilement compréhensible. C'est aussi pourquoi je ne vois pas tellement d'argument solide pour réfuter a priori la possibilité d'un univers infini, ou de la pertinence du concept d'infini.

Est-ce que vous en voyez, vous ?

Bonjour masterkey
Les sujets énigmatiques, qui défient la raison, retiennent mon attention. N’ayant ni cursus ni érudition scientifique je reste néanmoins, bon gré mal gré, à une altitude intellectuelle modérée.

L’infini qui pique ma curiosité n’est pas celui, «abstrait», d’une suite de nombres, mais l’infini «concret» de notre univers.
Vous le dites: un cerveau «fini» peut difficilement imaginer l’infini. Toutefois, selon moi, au mieux, on peut se faire une idée sur la question: une idée pas trop fausse (préférable à pas d’idée du tout).

Vous citez Hilbert disant que «les infinis étaient source de paradoxes divers». Intéressant! Quels seraient ces paradoxes? En admettant que de telles explications n’impliquent pas des démonstrations théorématiques pour aspirants à la médaille Fields.

Je ne suis pas sûr qu'il y ait beaucoup de sujets ayant trait à la nature du monde qui ne défient pas la raison.

Si j'ai embrayé sur les infinis en mathématiques, c'est parce qu'il s'agit du seul cadre où ont eu lieu des tentatives de formaliser un peu ce dont il s'agit, et dans lequel de réels progrès ont été faits.

Faire migrer la discussion vers les mathématiques semble vous faire penser qu'on s'éloigne du concret pour se diriger vers l'abstrait, mais à mon avis, ce n'est pas le cas : dès qu'on parle des traits de l'univers auxquels nos sens n'ont pas accès, on n'est déjà plus dans le concret. Parler donc de ses limites, et même des parties de l'univers à des échelles de temps ou d'espace inaccessibles à nos sens, c'est de toute façon ne pas parler de l'univers sensible, mais des extensions que notre esprit lui donne, par extrapolation, pour satisfaire des aspirations à la régularité et à la cohérence, goûts dont la nature nous a visiblement pourvus.

Bref, les univers que nous inventons en dehors de nos perceptions sont des constructions mathématiques, et même des classes particulières d'un univers mathématique par ailleurs plus vaste et plus riche.

Que disons-nous par exemple de l'espace habituel quand nous le disons "continu" ? Qu'y a-t-il derrière cette intuition qu'en gros, entre deux points de l'espace, il en existe toujours un troisième distinct entre les deux ? Pour le savoir, il faut creuser ce que peut être la continuité, chercher à expliciter toutes les variations que notre esprit peut donner à cette notion, et fatalement, au passage, fonder la géométrie, l'analyse, les nombres réels, et en généralisant encore les classifications qu'on peut faire sur les types d'espaces, fonder la topologie, dans laquelle notre bon vieil espace tel que se le figurait Newton est un "fibré trivial", et le ruban de Moebius dont vous parliez un fibré "non-trivial".

Parler de l'extension infinie de l'univers, c'est bien se poser une question qui porte, si l'on y pense, sur la façon dont il faut caractériser une extrapolation de notre raison, si l'on tient à sa cohérence. Impossible de l'expérimenter, cet infini !

Si l'on veut préciser des choses sur lui, il faut donc se demander de quelle sorte est l'infini spatial, et d'abord, y a-t-il plusieurs sortes d'infinis ? Pour tenter de répondre à cette question, le questionnement mathématique peut nous éclairer,et c'est même son but. La théorie des ensembles, sur lesquels portent notamment les discussion sur le finitisme en mathématiques et les positions de Hilbert, est à mon sens la formalisation de même de nos processus de pensée, ceux en tout cas qui nous font voir des régularités dans la nature : saisir quels sont les axiomes qui nous paraissent fondamentaux et naturels à la fois, quant à ce que sont les ensembles, ces structures dans laquelle nous regroupons "les choses" en général. Fondamentaux, naturels, et qui garantissent la cohérence (la non-contradiction) de notre discours quand nous usons d'eux.


(Désolé de la longueur déraisonnable, j'ai du mal à abréger)

Pour en revenir aux paradoxes, sur lesquels vous vouliez des détails, en mathématiques comme en physique, les infinis posent des tas de problèmes. Dans les calculs physiques, on essaye de les éviter ou les contourner par tous les moyens : dès qu'une dans un calcul de limite, une intégrale, ou simplement une division, un infini se profile, les problèmes arrivent, et on a tendance à considérer que la chose n'est pas interprétable physiquement. Par ailleurs, les infinis en température (en pression), ou en densité vers lesquelles s'échappent théoriquement les singularités que sont les trous noirs ou le big bang rendent de la même façon inapplicables les calculs qu'on voudrait faire sur ce qui se passe en leur coeur au moyens des théories physiques dont on dispose. Mais le jeu de l'évitement de ces infinis est parfois fécond, cela pousse parfois à des développement théorique comme la renormalisation en théorie quantique des champs, qui s'avèrent très prédictifs.

En mathématiques, ce serait long à développer, mais Hilbert espérait fonder toutes les mathématiques sur la logique, la théorie des ensembles, et des méthodes dites "finitaires", c'est-à-dire composés d'un nombre fini de déductions. Il se refusait à appliquer aux ensembles infinis ou aux autres objets abstraits des procédés d'inférences telles que ceux qu'on utilise dans le cadre des ensemble finis, comme la récurrence. Ce genre de méthodes n'effrayait pas, au contraire, ceux qui comme Candor se sont intéressé à ce qui se passait au-delà de l'infini des nombres entiers, aux nombre ordinaux dits "transfinis". Appelant ω le "nombre" infini de nombres entiers, ils ont formalisé ce que l'on pouvait dire de ω+1, ω+2, ω+ω, ω², et même ω à la puissance ω, et développé ainsi une algèbre des nombres transfinis. C'est là une façon de traiter l'infini comme un nombre actuel, et pas seulement comme potentiel.

Quant aux paradoxes, ils apparaissaient notamment quand l'on ne faisait pas la distinction entre la comparaison de la taille de deux ensembles et l'inclusion de l'un dans l'autre.
L'ensemble des nombre pairs est inclus dans l'ensemble des nombres entiers, mais est-il plus petit pour autant : leurs tailles sont toutes deux infinies, y en a-t-il une moins infinie que l'autre ?

Pour illustrer ce genre de paradoxes, Hilbert raconte l'histoire d'un hôtel au nombre infini de chambres, toutes pleines. Un tel l'hotel n'est pas complet pour autant, il peut encore accueillir un client : il suffit pour cela que l'hôtel demande à l'occupant de la chambre n°1 de déménager à la 2, à celui de la chambre n°2 d'aller habiter la 3, etc. (ce "etc." est-il valable en droit pour un ensemble infini ?), et il aura libéré la chambre n°1 pour le client supplémentaire. L'hotel peut même accueillir une deuxième infinité de clients : il demande au client de la chambre n°1 d'aller à la 2, celui de la 2 à la 4, celui de la 3 à la 6, etc., et l'hôtel aura libéré l'ensemble infini des chambres de numéros impairs, dans lesquelles l'infinité de nouveaux clients pourra s'installer.

La solution à ce genre de paradoxes vient en définissant précisément ce que veut dire l'égalité quand il s'agit de comparer les tailles des ensembles : ces tailles sont égales quand on peut trouver une façon (au moins) d'associer de manière unique chaque élément du premier ensemble à l'un, unique, du deuxième. Quand on peut relier les éléments de ces ensembles deux à deux et qu'aucun n'est oublié ou lié deux fois, mais bien une seule à un autre.

Pour les ensembles finis, on voit bien que c'est une définition qui fonctionne (vous pouvez coller - normalement - chaque doigt de votre main droite avec le correspondant de votre main gauche, et vous aurez épuisé tous vos doigts des deux mains sans en oublier aucun, en vérifiant d'ailleurs l'égalité du nombre de doigts des deux mains sans pour autant les compter !). Mais cela permet surtout de comparer aussi les ensembles infinis.

Ainsi, en associant chaque nombre entier avec son double (1 avec 2, 2 avec 4, etc.), on voit qu'on n'oublie aucun nombre entier ni aucun nombre pair, et que chacun est associé de façon unique. L'ensemble des nombres entiers et celui des nombres pairs ont donc la même taille. C'est aussi le cas entre l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des fractions. Mais ce n'est plus le cas entre l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des nombre dits "réels" (ceux du monde continu), et ça a été le tour de force de Cantor de le montrer, par un argument dit "diagonal". Il s'est donc avéré que plusieurs sortes d'infinis existaient, et même une infinité d'infinis ordonnables.


Rien à voir, mais j'en reviens à votre exemple de cercle sur lequel on tourne pour parcourir un trajet infini : dans cet exemple, vous renvoyez en fait l'infini à celui du temps dont on dispose pour marcher le long du cercle, mais ce dernier est bien fini, lui. Vous illustrez en fait ce qui se passe pour les objets qui n'ont pas de bord : il s'agit de la même chose que sur terre, qui est finie mais fermée sur elle-même, et un voyage à sa surface ne permet jamais d'en atteindre le bord. Dans le cas des théories sur l'univers, cette situation n'est donc pas analogue à celui où il est infini, mais bien fini : dans une partie des scénarios sur l'univers - qui sont en gros en rapport avec sa densité initiale -, celui-ci est également fini et sans bord. A la façon d'une sphère ou de la surface d'une chambre à air, si vous le parcouriez en partant en ligne droite, vous n'en atteindriez jamais la limite mais éventuellement votre point de départ (en visant bien, comme il faut bien viser pour faire un tour exact de la Terre et retomber sur son point de départ). En tout cas, au bout d'un moment, la distance qui vous séparerait de votre point de départ décroitrait. Fermé sur lui-même, il serait fini et sans bord.

S'il est par contre infini, il le serait réellement, et l'aurait toujours été, y compris au moment (juste après) le big bang, et vous lançant à son exploration un beau jour en ligne droite, votre distance depuis votre point de départ ne cesserait jamais de croître.

C'est en tout cas comme cela que pourrait être cet univers, bel et bien mathématique, qui nous sert d'extension à la petite sphère instantanée d'univers à laquelle nos sens ont accès directement, à chaque moment.

Toute représentation d'un en-dehors de nous est un dessin mathématique reliant les pointillés de nos perceptions, pointillés qui nous semblent bien former un monde cohérent.

Dire que c'est vraiment un monde, c'est franchir un pas vers le réalisme physique, mais aussi mathématique. Un "pas" du même genre que celui qui sépare l'agnostique du croyant et de l'athée. Pour ma part, je n'ai heureusement pas de problème à le franchir dans la vie de tous les jours, mais bien des arguments ont coulé dans un sens comme dans l'autre à son sujet (on en parle d'ailleurs avec Basil dans les messages précédents).